F分布

定義 3.2 確率密度関数 $f_{m,n}(x)$ が

$\displaystyle f_{m,n}(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{\gamma(\frac{m+n}{2})... ...{\frac{m}{2}-1}}{(mx+n)^{\frac{m+n}{2}}} & (x > 0)\\ 0, & \end{array}\right.$

で与えられる分布 $F_{m,n}$ を自由度対の分布という。その期待値と分散は

$\displaystyle E(F_{m,n})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{m}{n-2} (n > 2)$
$\displaystyle V(F_{m,n})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)} (n > 4)$

となる。

定理 3.9 $X_{11},X_{12},\ldots,X_{1n_{1}}$ がいずれも正規分布 $N(\mu_{1},\sigma_{1}^2)$ に従う互いに独立な $n_{1}$ 個の確率変数で，その相加平均を $\overline{X}_{1}$ ，不偏分散を $U_{1}^2$ とする．これらと独立に， $X_{21},\ldots,X_{2n_{2}}$ は正規分布 $N(\mu_{2},\sigma_{2}^2)$ に従う互いに独立な $n_{2}$ 個の確率変数を考え，その相加平均を $\overline{X}_{2}$ ，不偏分散を $U_{2}^2$ とする．

$\displaystyle \overline{X}_{1}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{n_{1}\sum_{i}X_{1i}}, U_{1}^2 = \frac{1}{n_{1}-1}\sum_{i}(X_{1i} - \overline{X}_{1})^2$
$\displaystyle \overline{X}_{2}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{n_{2}\sum_{i}X_{2i}}, U_{2}^2 = \frac{1}{n_{2}-1}\sum_{i}(X_{2i} - \overline{X}_{2})^2$

このとき，

$\displaystyle F = \frac{U_{1}^2/\sigma_{1}^2}{U_{2}^2/\sigma_{2}^2} = \frac{\sigma_{2}^2 U_{1}^2}{\sigma_{1}^2 U_{2}^2} \sim F(n_{1}-1, n_{2}-1)$