t分布

定義 3.1   確率密度関数$f_{n}(x)$が

$$f_{n}(x) = \frac{\gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\gamma(\frac{n}{2})}(1 + \frac{x^{2}}{n})^{-\frac{n+1}{2}} (n \geq 1)$$

で与えられる分布$T_{n}$を自由度$n$の$t$分布という．$n\geq 3$のとき，その期待値と分散は

$$E(T_{n}) = 0, V(T_{n}) = \frac{n}{n-2}$$

となる．

定理 3.7   $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$がいずれも正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$に従う互いに独立な確率変数とする．このとき，

$$U^2 = {S'}^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \overline{X})^2$$

とし，正の平方根を$U$とすると，

$$T = \frac{\overline{X} - \mu}{U/\sqrt{n}}$$

は自由度$n-1$の$t$分布に従う。

定理 3.8   $Z$を標準正規確率変数， $\chi_{n}^{2}$を自由度$n$の$\chi ^{2}$確率変数とする。さらに，$Z$と $\chi_{n}^{2}$が互いに独立ならば，標本分布

$$T_{n} = \frac{Z}{\sqrt{\chi_{m}^{2}/n}}$$

は自由度$n$の$t$分布に従う。

自由度$n$の$t$分布を$t(n)$と表す．

$t$分布の正規近似

$t$分布は自由度が大きければ標準正規分布で近似でき，

$$P_{r}(T_{n} \leq c) \approx P_{r}(Z \leq c)$$

となる。 $\chi_{n}^{2}$は$n$個の独立な確率変数の和であるから，$n$が大きければ $\chi_{n}^{2}/n$は大数の法則により，1に収束する。$T_{n}$確率変数の分母が１に近づくから，$T_{n}$確率変数は分子の標準正規確率変数と変わらなくなる。