確率の定義

さいころを投げてどの目が出るか，１枚の硬貨を投げて表がでるか裏が出るかは，実際に投げてみないと分からない．このように，ほぼ一定の条件のもとで，繰り返し起こる現象を観察したり実験することを試行(experiment)という．試行によって起こる結果(outcome)は一般に多数あるが，その起こる事柄を事象(event)という．また，試行によって起こりえるすべての事象の集まりを標本空間(sample space)といい，一般に$\Omega$で表す．事象のうち，これ以上簡単なものに分解できないような事象を根元事象という．

例 2.1   さいころを投げるという試行を行う．このとき，根元事象は

$${1},{2},{3},{4},{5},{6}$$

の６つであり，標本空間$\Omega$は $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$である．ここで，出た目が偶数であるという事象$E$を考えると， $E = \{x : xは偶数\} = \{2,4,6\}$となる．

• 理論的確率(数学的確率) ある試行において起こりえる標本空間$\Omega$の根元事象が全部で$n$個あり，それらのどれが起こることも同様に確からしいとする．このとき．ある事象$A$の起こる根元事象が$r$個であるとき，事象$A$の起こる確率を
  $$P(A) = \frac{r}{n}$$
  で定義する．
• 統計的確率(経験的確率) ある試行を繰り返し$n$回おこなってとき，事象$A$が$r$回起こったとする．いま，試行の回数$n$を増やしていくとき，相対度数$r/n$が一定の値$p$に近づくならば，事象$A$の起こる確率を$p$と定義する．これを統計的確率という．

演習問題 2.2

1. 1個のさいころを6回投げるとき，次の確率を求めよう．

(a)

1の目が1回出る．

(b)

1の目が4回出る．

(c)

1の目が出るのは4回以下である．

(d)

1の目が出るのは5回以上である．

2. 1つの袋に白玉が5個，赤玉が3個，黒玉が2個入っている．その中から4個の球を取り出すとき，次の確率を求めよう．

(a)

全部が白である場合．

(b)

白がちょうど2個である場合．

(c)

白が2個以内．

(d)

白が2個，赤が2個．

(e)

白，赤，黒がともに含まれている場合

3. 1から10までの番号のついたカードがある．これらのカードを勝手に1列に並べるとき，次の確率を求めよう．

(a)

1から10までがその順に並ぶ場合

(b)

4のカードがちょうど4番目にある場合

(c)

1が最初に，4が4番目にある場合

4. 広い方眼紙に縦横に8cm間隔に線を引いて，8cm四方の正方形が沢山かかれているとする．直径が3cmの円板を投げるとき，次の確率を求めよう．

(a)

円板が1つの正方形の中に入る．

(b)

円板が正方形の辺にかかる．

(c)

円板が4つの正方形にまたがる．

5. 4個の白玉と6個の赤玉のはいっている袋がある．この袋から，同時に2個を取り出すとき次の確率を求めよう．

(a)

2個とも白玉である確率

(b)

1個だけ白玉である確率

(c)

少なくとも1個は白玉である確率