正規分布

確率変数$X$の確率密度関数が

$$g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} EXP\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right], -\infty < x < \infty$$

で与えられるとき，確率変数$X$は正規分布に従うといい， $X \sim N(\mu, \sigma^2)$と表わします．

また，

$$P_{r}(0 \leq Z \leq z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{z}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx$$

の値は標準正規分布表として与えられている。

標準化

確率変数$X$の平均$E(X)$を0に，分散$V(X)$を1に直すことを標準化といいます．

標準化の方法

$$Z = \frac{X - E(X)}{\sqrt{V(X)}}$$

とおくと

$$E(Z) = 0, V(Z) = 1$$

になります．

一様分布

確率変数$X$の確率密度関数が

$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{b-a}, & a < x < b\\ 0, & {\rm otherwise} \end{array}\right.$$

で与えられるとき，確率変数$X$は一様分布に従うといい， $X \sim U(a,b)$と表わします．

例題 4.1   電車が20分間隔で走っているとする．ランダムにホームに着いたとき，15分以上待つ確率を求めよ．

解 $X$を電車の待ち時間とすると， $X \sim U(a,b)$である．このとき，

$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{20}, & 0 < x < 20\\ 0, & {\rm otherwise} \end{array}\right.$$

よって，15分以上待つ確率は，

$$P_{r}(15 \leq X \leq 20) = \int_{15}^{20}f(x)dx = \int_{15}^{20}\frac{1}{20}dx = \frac{1}{4}$$

正規分布の応用

定理 4.1   $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$が互いに独立で正規分布 $N(\mu, \sigma^{2})$に従っているとすると，

$$\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n}}{n} \sim N(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n})$$

定理 4.2 (中心極限定理)   $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$が互いに独立で同じ分布にに従っているとする．このとき，$n$が十分大きければ

$\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n}}{n}$は近似的に $\sim N(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n})$に従う．

定理 4.3 (ラプラスの定理)   $X \sim B(n,p)$のとき，十分大きな$n$に対して

$X$は近似的に $N(np, np(1-p))$に従う．

演習問題 4.3

1. $X \sim N(170,10^2)$のとき，次の確率を求めよう．

(a)

$P_{r}(X \leq 160)$

(b)

$P_{r}(160 \leq X \leq 175)$

2. $Z \sim N(0,1)$のとき，次の式を満たす$\lambda$を求めよ．

(a)

$P_{r}(Z > \lambda) = 0.05$

(b)

$P_{r}(\vert Z\vert > \lambda) = 0.05$

3. 全国の20才に男子の身長は正規分布 $N(168.9,5.6^2)$に従うものとする．

(a)

身長の大きさに順に総数を10等分するためには，境界値をいくらにすればよいか．

(b)

20才の男子120名を抽出して，身長の平均値が168.9cmより1.3cm以上かたよる確率を求めよ．

4. 2項分布，ポワソン分布，正規分布について，次のことがいえます．
$X \sim B(n,p)$のとき，

$$X \sim \left\{\begin{array}{cl} P_{o}(\mu) &, np \leq 5\\ N(\mu,\sigma^2)&, np > 5 \end{array}\right.$$   で近似される$$$$

このことを用いて次の質問に答えよう．

(a)

$X \sim B(100,0.02)$のとき， $P_{r}(X \geq 2)$を求めよ．

(b)

$X \sim B(100, 0.2)$のとき， $P_{r}(X \geq 25)$を求めよ．

(c)

1個のさいころを600回投げて，1の目の出る回数$S$が90回以上100回以下である確率を近似せよ．

(d)

100枚の偏りのない硬貨を同時に投げる．表の出る回数が40以上60以下の確率を近似せよ．