確率変数と確率分布

• 確率変数 $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$なる$n$個の値をとる変数$X$に対して，$X = x_{i}$なる確率$p_{i}$が与えられているとき，$X$を確率変数という．
• 確率分布 確率変数$X$とそれに対応する確率 $P(X = x_{i})$との対応関係を確率分布という．
• 分布関数 確率変数$X$の値がある値$x$までとる確率を$F(x)$で表し，確率変数$X$の分布関数という．つまり，分布関数は $F(x) = P(X \leq x)$で与えられる．

確率変数$X$のとる値が有限個または，無限個であっても自然数で番号が付けられる場合，確率変数$X$は離散型であるという．また，確率変数$X$がある区間内の全ての実数を取り得る場合，連続型であるという．

離散型の場合

確率変数$X$のとる値を $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$とし，各事象 $(X = x_{i})$の確率を $p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}$とするとき，

$$P(X = x_{i}) = p_{i} (i = 1,2,\ldots, n) \sum{p_{i}} = 1, (p_{i} \geq 0)$$

で表される．これより，$X$の確率分布$f$は

Xの値 $x_{i}$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\cdots$	$x_{n}$
$P(X = x_{i}) = p_{i} = f(x_{i})$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\cdots$	$p_{n}$

また，確率変数$X$のとる値を $x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{n}$とするとき，その分布関数$F(x_{r})$は次のように求められる．

$$F(x_{r}) = P(X \leq x_{r}) = p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{r} = \sum_{i=1}^{r}p_{i}$$

確率分布$f$と分布関数$F$は次の性質をもつ．

1. $0 \leq p_{i} = f(x_{i}) \leq 1 (i = 1,2,\ldots, n)$
2. $F(x_{n}) = P(X \leq x_{n}) = p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{n} = 1$
3. $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$
4. $a < b$ $\Longrightarrow$ $F(a) < F(b)$

連続型の場合

確率変数$X$が連続的な値をとるとき，事象 $\{X \leq x\}$の確率が連続関数$F(x)$によって,

$$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x}f(x) dx$$

で与えられるとき，$F(x)$を$X$の分布関数といい，$f(x)$を確率密度関数という．

演習問題 3.1

(1) 男児と女児の出生率が等しいと仮定して，4児を持つ家庭の確率変数$X$の値と確率分布$f$を求めよ．

(2) 1つの袋に赤玉4個と白玉6個が入っている．同時に3個の球を取り出す場合，赤玉の個数を表わす確率変数$X$と確率分布$f$を求め，そのグラフをかこう．また， $P(X = 1), P(1 \leq X \leq 3)$を求めよう．

3. 与えられた $a,b (a < b)$に対して，関数 $${f(x) = \left\{\begin{array}{ll} k & (a < x \leq b) \\ 0 & (x \leq a, x > a) \end{array}\right. }$$

が与えられている．

(a)

$f(x)$が確率密度関数であるためには，定数$k$はどのような値であるか．

(b)

$a \leq c \leq b$である$c$に対して $P(X \leq c)$を求めよ．

4. 確率密度が

$$f(x) = \left\{\begin{array}{cl} 0 , x \leq 0 \\ 6x(1 - x) & 0 < x \leq 1 \\ 0 & x > 1 \end{array}\right.$$

で与えられている．

(a)

分布関数$F(x)$を求めよ．

(b)

$P(X \leq 0.7)$, $P(0.2 < X \leq 0.8)$を求めよ．

5. 関数

$$f(x) = \left\{\begin{array}{cl} e^{-x} &, x \geq 0 \\ 0 &, x \leq 0 \end{array}\right.$$

が与えられている．

(a)

$f(x)$は確率密度関数を与えることを示せ．

(b)

$P(X \leq a) = 0.1$, $P( X > b) = 0.05$であるような$a,b$を求めよ．