$\chi ^{2}$分布

$\chi ^{2}$分布は１つの自然数$n$を含む連続型分布で， $\chi^{2}(n)$と表し$n$をその自由度という。$\chi ^{2}$分布の密度関数$f_{n}(x)$は次の式で与えられる。

$$f_{n}(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamm... ...)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{1}{2}x} & x > 0\\ 0 & x \leq 0 \end{array}\right.$$

ここで，ガンマ関数$\Gamma(x)$は

$$\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt (x > 0)$$

で定義される。

$\chi ^{2}$分布の名前は次の性質から来ている。

定理 5.1   確率変数 $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$が同一の標準正規分布$N(0,1)$に従い，互いに独立ならば，その統計量

$$\chi_{n}^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}$$

は自由度$n$の$\chi ^{2}$分布に従う。その期待値と分散は

$$E(\chi_{n}^{2}) = n, V(\chi_{n}^{2}) = 2n$$

定理 5.2 ($\chi ^{2}$分布の加法性)   $\chi_{n}^{2}, \chi_{m}^{2}$がそれぞれ自由度$n$,$m$の$\chi ^{2}$分布に従い，互いに独立ならば， $\chi^{2} = \chi_{n}^{2} + \chi_{m}^{2}$は自由度$n+m$の$\chi ^{2}$分布に従う。

標本確率変数 $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$の標本分散$S^{2}$は

$$S^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \bar{X})^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} - \bar{X}^{2}$$

で定義される。しかし，この式から求まる標本標準偏差$S$は一般に標準偏差として用いられていない。その理由は，

$$E(S^{2}) = \frac{n-1}{n}\sigma^{2}$$

となり，$S^{2}$の期待値は母分散の期待値と異なる。そこで，多くのテキストでは，

$$S^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \bar{X})^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} - \bar{X}^{2}$$

と定義している。この定義によれば，

$$E(S^{2}) = \frac{n-1}{n-1}\sigma^{2} = \sigma^{2}$$

となる。このような統計量$S^{2}$を母分散の不偏推定量という。

標本分散$S^{2}$に関して，次の定理がある。

定理 5.3   $N(\mu,\sigma^{2})$の正規分布に従う母集団から無作為で得た標本を $\{X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\}$とすると，

$$Y = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \bar{X})^{2}$$

は自由度が$n-1$の$\chi ^{2}$分布に従って分布する。

演習問題 5.2  

1. 母集団が正規分布であるとする。$n$が20の標本から標本分散を求めたところ，その値は1.5であった。母分散が1のとき，標本分散が1.5より大きい確率を求めよ。