指数分布

確率変数$X$の確率密度関数が

$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \lambda^{-\lambda x}, & 0 < x < \infty\\ 0, & -\infty < x < 0 \end{array}\right.$$

で与えられるとき，確率変数は指数分布に従うといい， $X \sim E_{x}(\lambda)$で表します．ここで，

$$\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx$$

で与えられる．

$$E(X) = \int_{0}^{\infty}x(\lambda e^{-\lambda x})dx = \lambda \int_{0}^{... ...da x}dx\\ du = dx & v = -\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\\ \end{array}\right)$$

$$= \lambda\left[-\frac{1}{\lambda}xe^{-\lambda x} + \frac{1}{\lambda^{2}}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty}$$

$$= \frac{1}{\lambda}$$

これより，期待値 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$となる．

分散は母関数を用いて求める．

$$\Phi(t) = E(e^{tX}) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\lambda e^{-\lambda x}dx$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty}\lambda e^{(t-\lambda)x}dx$$

$$= \lambda \frac{1}{t -\lambda}e^{(t-\lambda)x}\mid_{-\infty}^{\infty}$$

$$= -\frac{\lambda}{t - \lambda}$$

これより，

$$\Phi'(t) = \frac{\lambda}{(t-\lambda)^{2}}, \Phi'(0) = \frac{\lambda}{\lambda^{2}} = \frac{1}{\lambda}$$

演習問題 4.6  

1. ある人の通話時間$X$は平均3分の指数分布に従うものとする．
(a) その人の通話が4分以内に終わる確率を求めよ．
(b) また，その人が通話をはじめてから2分が経過しているとき，その後4分以内に終わる確率を求めよ．