幾何分布

繰返し独立に試行を行うとき，注目している事象が初めて起こる直前までの試行回数を$X$とし，$p$を注目している事象が起こる確率とすると，注目している事象が$i+1$回目に起こる確率は，

$$P_{r}(X = i) = (1-p)^{i}p$$

となる。このとき，確率変数$X$は幾何分布$G_{e}(p)$に従うといい，

$$X \sim G_{e}(p)$$

と表す。また，

$$E(X) = \frac{q}{p}, V(X) = \frac{q}{p^{2}}$$

で与えられる。

期待値$E(X)$を求める一つの方法に，母関数(generating function)を用いる方法がある。

離散型の場合

$\eta(t) = E(t^{X}) = \sum_{k=0}^{\infty}t^{k}P(X = k)$とおくと， $\eta'(t) = E(Xt^{X-1})$より，$t=1$のとき， $\eta(1) = E(X)$となる。よって，期待値は$\eta(t)$が求まれば微分することにより求めることができる。

連続型の場合

$\phi(t) = E(e^{tX}) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}dF(x)$とおき，$e^{tx}$を整級数で置き換えると，

$$\phi(t) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}dF(x)$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty}\sum_{k=0}^{k}\frac{(tx)^{k}}{k!}dF(x)$$

$$= \sum_{0}^{k}\frac{t^{k}}{k!}\int_{-\infty}^{\infty}x^{k}dF(x)$$

$$= \sum_{0}^{k}\frac{t^{k}}{k!}E(X)$$

これより，

$$\phi'(t) = \sum_{1}^{k}\frac{kt^{k-1}}{k!}E(X)$$

ここで，$t=0$とおくと，

$$\phi'(0) = E(X)$$

となる。

演習問題 4.4  

1.

(a)

$X \sim G_{e}(p)$のとき，

$$E(X) = \frac{q}{p}, V(X) = \frac{q}{p^2}$$

を示そう．ただし，$q = 1 - p$.

(b)

勝率3割のチームは平均して何試合目にはじめて勝つか求めよ．