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Simpson公式の基礎知識

図 10.2:
\begin{figure}\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{FIG/simpson.eps}
\end{center}\vspace{-3.5cm}
\end{figure}

シンプソン法は、図10.2において、関数$ f(x)$ $ x_{0} \sim x_{2}$まで積分するのに,3点 $ P_{0}, P_{1}, P_{2}$を通る2次関数で近似する方法で、台形公式による方法より精度の高い近似値が得られる。 下図のように、3点 $ P_{0}, P_1, P_2$を通る2次関数と$ x$軸の区間$ [x_0,x_2]$ではさまれた網掛け部分の面積$ S$は、

2次関数を $ y = ax_{0}^{2} + bx_{0} + c$とおくと

$\displaystyle y_{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ax_{0}^{2} + bx_{0} + c$  
$\displaystyle y_{1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ax_{1}^{2} + bx_{1} + c$  
$\displaystyle y_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ax_{2}^{2} + bx_{2} + c$  

より
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{x_0}^{x_1}(ax^{2} + bx + c)dx + \int_{x_1}^{x_2}(ax^{2} + bx + c)dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[\frac{ax^{3}}{3} + \frac{bx^{2}}{2} + cx\right]_{x_0}^{x_1} + \left[\frac{ax^{3}}{3} + \frac{bx^{2}}{2} + cx\right]_{x_1}^{x_2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(x_{1} - x_{0})}{3}\left(a(x_{1}^{2} + x_{1}x_{0} + x_{0}^{2}) + \frac{3b(x_{1} + x_{0})}{2} + 3c\right)$  
  $\displaystyle +$ $\displaystyle \frac{(x_{2} - x_{1})}{3}\left(a(x_{2}^{2} + x_{2}x_{1} + x_{1}^{2}) + \frac{3b(x_{2} + x_{1})}{2} + 3c\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{h}{3}\left(ax_{0}^{2} + bx_{0} + c + ax_{2}^{2} + bx_{2} + c \right.$  
  $\displaystyle +$ $\displaystyle \left. ax_{1}^{2} + ax_{1}x_{0} + \frac{bx_{1}}{2} + \frac{bx_{0}}{2} + 2c + ax_{2}x_{1}\right)$  

ここで, $ x_{0} = x_{1} - h$ $ x_{2} = x_{1} + h$に注意すると

$\displaystyle S = \frac{h}{3}(y_{0} + 4y_{1} + y_{2})$

と表される。これをSimpson公式という。

10.3のように関数$ f(x)$が区間$ [a,b]$$ n$(偶数)等分されていると,この区間の面積の近似値$ S$

$\displaystyle S = S_{1} + S_{2} + \cdots + S_{n}$

より
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_{1} + S_{2} + \cdots + S_{n}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{h}{3}\left[(y_{0} + 4y_{1} + y_{2}) + (y_{2} + 4y_{3} + y_{4}) + \cdots + (y_{n-2} + 4y_{n-1} + y_{n})\right]$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{h}{3}\left[y_{0} + y_{n} + 2\sum_{i=1}^{(n/2)-1}y_{2i} + 4\sum_{i=1}^{n/2}y_{2i-1}\right]$  

が求まる。この式を合成Simpson公式という。

図 10.3:
\begin{figure}\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{FIG/comsimpson.eps}
\end{center}\vspace{-3cm}
\end{figure}


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Administrator 平成16年7月8日