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熱伝導方程式

最後に表面が断熱された細長い均質な棒に熱が伝わるとき,位置$ x$,時刻$ t$での棒の温度$ u(x,t)$が満たす偏微分方程式について考えてみましょう.

図 7.2: 熱の伝わり方
\begin{figure}\begin{center}
\includegraphics{DFQ/Fig2-6.eps}
\end{center}\end{figure}

$ x_{0}$での切断面を通して$ \Delta t$時間に棒に流入してくる熱量は,温度勾配 $ u_{x}(x_{0},t)$に比例するので $ KA u_{x}(x_{0},t) \Delta t$ (K : 熱伝導率, A : 断面積).同じく$ \Delta t$時間に $ x_{0} + \Delta x$での切断面を通して流入する熱量は $ KAu_{x}(x_{0}+\Delta x,t) \Delta t$.よって$ x_{0}$ $ x_{0} + \Delta x$の間に流入する総熱量は

$\displaystyle KA[u_{x}(x_{0}+\Delta x,t) - u_{x}(x_{0},t)] \Delta t $

となります.

一方,この棒の比熱を$ g$(単位質量の温度を単位時間に $ 1^{\circ}C$上げるのに必要な熱量)とするとき,質量 $ \rho A \Delta x$の部分が温度変化$ u_{t}$をもたらすための熱量を$ \Delta t$時間与えると,総熱量は

$\displaystyle g u_{t} \rho A \Delta x \Delta t $

となります.これが上の総熱量と等しくならなければならないので

$\displaystyle KA[u_{x}(x_{0}+\Delta x,t) - u_{x}(x_{0},t)] \Delta t = g u_{t} \rho A \Delta x \Delta t .$

両辺を $ A \Delta x \Delta t$で割ると

$\displaystyle K[\frac{u_{x}(x_{0}+\Delta x,t) - u_{x}(x_{0},t)}{\Delta x}] = g \rho u_{t}. $

ここで $ \Delta x \rightarrow 0$とすると

$\displaystyle K u_{xx} = g \rho u_{t} $

となり

$\displaystyle u_{t} = ku_{xx}     k = \frac{K}{g\rho} > 0 $

を得ます.

これは一次元熱伝導方程式(one dimensional heat equation)とよばれます.

外部から熱の供給$ q(x,t)$がある場合には,棒の温度$ u(x,t)$は次の式を満たします.

$\displaystyle u_{t} = ku_{xx} + q(x,t)   (k > 0). $

$ u(x,t)$が時間$ t$に対して一定のとき,つまり$ u_{t} = 0$のとき,$ u(x,t)$定常状態(steady state)での温度分布を表わします. 初期条件は,定常状態での温度分布の$ t=0$における温度分布$ f(x)$を表わします.つまり,

$\displaystyle u(x,0) = f(x) $

となります.また棒が有限な長さLをもつときの境界条件には次のようなものが考えられます.
(i) 棒の両端の温度が0に保たれているとき

$\displaystyle u(0,t) = u(L,t) = 0. $

(ii) 棒の両端が断熱されているとき

$\displaystyle u_{x}(0,t) = u_{x}(L,t) = 0. $

薄い板の熱伝導現象は,この板が$ xy$平面におかれ,時刻$ t$での点$ (x,y)$の温度が$ u(x,y,t)$であるとき,次 の二次元熱伝導方程式(two dimensional heat equation)で表わされます.

$\displaystyle u_{t} = k(u_{xx} + u_{yy})  (k > 0). $

ここで$ u_{t} = 0$のとき,つまり$ u(x,t)$が時間$ t$に対して定数のとき,Laplace方程式 $ u_{xx} + u_{yy} = 0$を得ます.そしてこの方程式は定常状態での温度分布を表わします.

また円柱の熱伝導方程式は,時刻$ t$での点$ (x,y,z)$の温度が $ u(x,y,z,t)$であるとき,次 の三次元熱伝導方程式(three dimensional heat equation)で表わされます.

$\displaystyle u_{t} = k(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz})  (k > 0). $

この方程式を円柱座標 $ (r,\theta,z)$で表わすと,変数変換

$\displaystyle x = r\cos{\theta},  y = r\sin{\theta},  z = z $

により,次のようになります.

$\displaystyle u_{t} = k(u_{rr} + \frac{1}{r}u_{r} + \frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta} + u_{zz})  (k > 0). $

例題 7.14   表面が断熱されている長さ$ L$の細長い均質な棒で棒の両端の温度が0度に保たれていて,初期温度分布が $ u(x,0) = f(x)$で与えられているとき棒の温度$ u(x,t)$を求めよ.

この関数の数学的モデルは熱伝導方程式

$\displaystyle u_{t} = ku_{xx} $

と初期条件 $ u(x,0) = f(x),  0 < x < L$,境界条件 $ u(0,t) = u(L,t) = 0,  t > 0$で与えられる.

変数分離解 $ u(x,t) = X(x)T(t)$を仮定して,これを熱伝導方程式に代入すると

$\displaystyle XT^{\prime} = kX^{\prime\prime} T, $

$\displaystyle \frac{X^{\prime\prime}}{X} = \frac{T^{\prime}}{kT} = \lambda  (\lambda =$   定数$\displaystyle ) $

が得られる.また境界条件 $ u(0,t) = u(L,t) = 0$より,Sturn-Liouville問題

$\displaystyle X^{\prime\prime} - \lambda X = 0,   X(0) = X(L) = 0 $

を得る.これは固有値 $ \lambda_{n} = -n^{2}\pi^{2}/L^{2}$,固有関数 $ X_{n}(x) = \sin{(n\pi x/L)}$をもつ.またこの $ \lambda_{n}$に対して $ T^{\prime} - \lambda KT = 0$

$\displaystyle T^{\prime} + (\frac{n\pi \sqrt{K}}{L})^{2}T = 0 $

となり,その一般解は

$\displaystyle T_{n}(t) = B_{n}e^{-(\frac{n\pi \sqrt{K}}{L})^{2} t} $

で与えられる.こうして熱伝導方程式と境界条件を満たす解の列

$\displaystyle u_{n}(x,t) = B_{n}\sin{\frac{n\pi x}{L}}e^{-(\frac{n\pi \sqrt{K}}{L})^{2} t} $

が得られる.これらを重ね合わせると

$\displaystyle u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,t). $

ここで初期条件 $ u(x,0) = f(x)$を用いると

$\displaystyle u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\sin{\frac{n\pi x}{L}} = f(x). $

よって$ B_{n}$$ f(x)$のフーリエ正弦級数の係数となるので

$\displaystyle B_{n} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}} dx . $

したがって
$\displaystyle u(x,t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,t)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{L}(\int_{0}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}...
...ac{n\pi x}{L}}e^{-(\frac{n\pi \sqrt{K}}{L})^{2} t}. \ensuremath{ \blacksquare}$  

例題 7.15   例題7.14において,$ t=0$の前に棒の一端が沸騰しているお湯につけられていて,$ t=0$ $ 30^{\circ}$の水につけたとする.このとき棒の温度$ u(x,t)$を求めよ.

時刻$ t=0$の前で,定常状態という条件のもとでは,温度分布はラプラス方程式 $ u_{xx} = 0$と境界条件 $ u(0,t) = 0, u(L,t) = 100$で与えられる.ここで, $ u_{xx} = 0$より,解を $ u(x,t) = ax + bt + c$とおくと, $ u_{t}(x,t) = 0$より $ b = u_{t}(x,t) = 0$.また,境界条件より, $ 0 = u(0,t) = c, 100 = u(L,t) = aL + c$.したがって,

$\displaystyle u(x,t) = \frac{100}{L}x$

これより,$ t \geq 0$において,次の境界値問題を解くことになる.

$\displaystyle u_{t} = ku_{xx}, u(0,t) = 0, u(L,t) = 30, u(x,0) = \frac{100}{L}x $

境界条件が同次でないので,この偏微分方程式の解の和は境界条件を満たすとは限らない.そこで, $ t \to \infty$のとき $ u_{xx} = 0$を満たす関数を考える.このような解を$ t > 0$における定常状態での解といい, $ u(x,\infty)$で表す.

この解は,$ t < 0$での$ u(x,t)$と同様にして求めることができ,

$\displaystyle u(x,\infty) = \frac{30}{L}x$

となる.

ここで, $ u(x,t) = u(x,\infty) + v(x,t)$とおくと,

$\displaystyle v_{t}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle kv_{xx}$  
$\displaystyle v(0,t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u(0,t) - u(0,\infty) = 0 - 0 = 0$  
$\displaystyle v(L,t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u(L,\infty) - u(L,\infty) = 30 - 30 = 0$  

となり,同次の境界条件を持った熱伝導方程式を得ることができる.初期条件は

$\displaystyle v(x,0) = u(x,0) - u(x,\infty) = \frac{100}{L}x - \frac{30}{L}x = \frac{70}{L}x$

これより,解$ v(x,t)$は,上の例題の$ u(x,t)$と同じで,

$\displaystyle v(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\sin{\frac{n\pi x}{L}}e^{-(\frac{n\pi \sqrt{K}}{L})^{2} t}$

ただし,$ B_{n}$は初期温度分布関数のフーリエ正弦係数である.したがって,

$\displaystyle B_{n} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}\frac{70}{L}x\sin{\frac{n\pi x}{L}}dx = \frac{140}{n \pi}(-1)^{n+1}.$

これより,温度$ u(x,t)$は定常状態 $ u(x,\infty)$と非定常分布$ v(x,t)$により求まることが分かる. $  \blacksquare$

非三角関数解 三角関数は常に境界値問題の解を表すことができるとは限らない.

例題 7.16   球面における温度分布が$ f(\phi)$で与えられる半径1の球の内部の定常状態での温度を求めよ.

空間では,定常状態温度$ u(x,y,z)$はラプラス方程式 $ \Delta_{3}u = u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0$を満たす.極座標変換

図 7.3: 極座標系
\begin{figure}\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{CALCFIG/Fig7-6-2-2.eps}
\end{center}\vskip -0.6cm
\end{figure}

$\displaystyle x = \rho \sin{\phi}\cos{\theta}, y = \rho \sin{\phi}\sin{\theta}, z = \rho \cos{\theta}$

を用いると,

$\displaystyle \rho^{2}u_{\rho \rho} + 2\rho u_{\rho} + u_{\phi \phi} + \frac{\cos{\phi}}{\sin{\phi}}u_{\phi} + \frac{1}{\sin^{2}{\phi}}u_{\theta \theta} = 0$

を得る.境界条件の対称性より,$ u$$ \phi$$ \rho$の関数のはずである.したがって,

$\displaystyle \rho^{2}u_{\rho \rho} + 2\rho u_{\rho} + u_{\phi \phi} + \frac{\cos{\phi}}{\sin{\phi}}u_{\phi} = 0$

ここで,解を $ U(\phi,\rho) = R(\rho)\Phi(\phi)$とおくと,

$\displaystyle \frac{\rho^{2}R''}{R} + \frac{2\rho R'}{R} = -\frac{\Phi''}{\Phi} - \frac{\cos{\phi}}{\sin{\phi}}\frac{\Phi'}{\Phi} = \lambda$

となる.これより,2つの常微分方程式
$\displaystyle \Phi'' + \frac{\cos{\phi}}{\sin{\phi}}\Phi' + \lambda \Phi$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle \rho^{2}R'' + 2\rho R - \lambda R$ $\displaystyle =$ 0  

を得る. $ x = \cos{\phi}$とおくと,
$\displaystyle \Phi'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d \Phi}{d \phi} = \frac{d \Phi}{dx}\frac{dx}{d \phi} = -\sin{\phi}\frac{d \Phi}{dx}$  
$\displaystyle \Phi''$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin^{2}{\phi}\frac{d^{2}\Phi}{dx^{2}} - \cos{\phi}\frac{d \Phi}{dx}$  

となるので,最初の式に代入すると,

$\displaystyle (1 - x^{2})\frac{d^{2}\Phi}{dx^{2}} - 2x \frac{d \Phi}{dx} + \lambda \Phi = 0$

これは,Legendre方程式で, $ x \in [-1,1]$で有界な解は, $ \lambda = n(n+1)$$ n$整数のときだけである.2つ目の式は,Cauchy-Eulerの方程式で, $ \lambda = n(n+1)$のとき,完全解

$\displaystyle a\rho^{n} + \frac{b}{\rho^{n+1}}$

を持つ.

もし,$ n \geq 0$ならば,$ \rho = 0$のとき意味を持つために$ b = 0$とおく.この段階で,次の解を持つ.

$\displaystyle a_{0}P_{0}(x), a_{1}\rho P_{1}(x),a_{2}\rho P_{2}(x), \ldots, a_{n}\rho^{n} P_{n}(x), \ldots, $

ただし,$ P_{n}(x)$は位数$ n$のLegendre多項式である.重ね合わせの原理より,

$\displaystyle U(\rho, \phi) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\rho^{n}P_{n}(\cos{\phi})$

ここで, $ U(1,\phi) = f(\phi)$,または

$\displaystyle f(\phi) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}P_{n}(\cos{\phi})$

これは, $ \{P_{n}\}_{n=1}^{\infty}$を直交系とする$ f$のフーリエ級数である.また,例題6.13より,

$\displaystyle \int_{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)dx = 0,  m \neq n$

さらに,

$\displaystyle \int_{-1}^{1}P_{n}^{2}(x)dx = \frac{2}{2n+1}$

これより,$ \phi$を用いて表すと,

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}P_{m}(\cos{\phi})P_{n}(\cos{\phi})\sin{\phi}d\phi =...
...\{\begin{array}{ll}
0, & m \neq n\\
\frac{2}{2n+1}, & n = m
\end{array}\right.$

したがって,

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}f(\phi)\sin{\phi}P_{n}(\cos{\phi})d\phi = \int_{0}^...
..._{n}(\cos{\phi})\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}P_{k}(\cos{\phi}) = \frac{2a_{n}}{2n+1}$

これより,

$\displaystyle a_{n} = (n+\frac{1}{2})\int_{0}^{\pi}f(\phi)\sin{\phi}P_{n}(\cos{\phi})d\phi$

となり,形式解を得ることができた. $  \blacksquare$

扱う領域が有界でないとき,フーリエ級数を用いて解を表わすことは不可能になります.このような場合,よく用いられるのが変換です.次の章でフーリエ変換を用いて,領域が有界でない場合の熱伝導方程式を解きます.


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yokotalab 平成21年11月24日