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合成関数の偏微分法(differentiation of composite functions)

偏微分の計算において重要な役割を果たす合成関数の微分公式を次にあげます.

定理 6.5   $ (1)  $ $ z = f(x,y)$ が全微分可能であり, $ x = x(t), y = y(t)$ が微分可能ならば,合成関数 $ z = f((x(t),y(t))$ は微分可能であり,次の式が成り立つ.

$\displaystyle \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}. $

$ (2)$ $ z = f(x,y)$ が全微分可能であり, $ x = x(r,s), y = y(r,s)$ がともに微分可能ならば,合成関数 $ z = f(x(r,s),y(r,s))$ も微分可能であり,次の式が成り立つ.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial z}{\partial x}\fra...
...al x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} $


定理6.5(2)の公式を樹形図にして表わすと次の図6.6のようになります.

図 6.6: 合成関数
\begin{figure}\begin{center}
\includegraphics[width=4.5cm]{CALCFIG/Fig6-6-1.eps}
\end{center}\vskip -0.5cm
\end{figure}

証明 (2)

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial r}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim_{\Delta r \rightarrow 0} \frac{\Delta z}{\Delta r}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim_{\Delta r \rightarrow 0}\{\frac{\partial z}{\partial x}\frac...
...ilon_{1}\frac{\Delta x}{\Delta r} + \varepsilon_{2}\frac{\Delta y}{\Delta r} \}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}
\ensuremath{ \blacksquare}$  

例題 6.17   上の定理を使って $ \displaystyle{z = e^{xy^2}, x = t\cos{t}, y = t\sin{t}}$$ t$ について微分してみましょう.

図 6.7: z-x-t, z-y-t
\begin{figure}\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{CALCFIG/Fig6-6-2.eps}
\end{center}\end{figure}


$\displaystyle \frac{dz}{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle y^{2}e^{xy^2}(\cos{t} - t\sin{t}) + 2xye^{xy^2}(\sin{t} + t\cos{t})
\ensuremath{ \blacksquare}$  

例題 6.18   $ \displaystyle{z = f(x^{2}y)}$ $ \displaystyle{x(\frac{\partial z}{\partial x}) = 2y(\frac{\partial z}{\partial y})}$ を満たすことを示してみましょう.

$ x^{2}y = u$ とおくと $ z = f(u)$ より図6.8を得ます.

図 6.8: z-u-xy
\begin{figure}\begin{center}
\includegraphics[width=6.7cm]{CALCFIG/Fig6-6-3.eps}
\end{center}\vskip -0.5cm
\end{figure}

これより

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{dz}{du}\frac{\partial u}{\partial x} = f^{\prime}(u)2xy $

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{dz}{du}\frac{\partial u}{\partial y} = f^{\prime}(u)x^2 $

したがって

$\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x} = f^{\prime}(u)2x^{2}y = 2y\frac{\partial z}{\partial y}
\ensuremath{ \blacksquare}$

確認問題

1.
$ \displaystyle{\frac{dz}{dt}}$ を求めよう.ただし, $ f$$ C^{1}$ 級とする.

(a) $ \displaystyle{z = x^{2} + 2y, x = 2t, y = t^{3}}$ (b) $ \displaystyle{z = x^{2} + y^{2}, x = \cos{t}, y = \sin{t}}$

(c) $ \displaystyle{z = x^{2} + xy + 2y^{2}, x = \cos{t}, y = \sin{t}}$ (d) $ \displaystyle{z = x^{3} y^{2}, x = t^{2}, y = t^{3}}$

2.
次の関数について, $ \displaystyle{\frac{\partial z}{\partial u},  \frac{\partial z}{\partial v}}$を求めよう.

(a) $ \displaystyle{z = x^{2} + y^{2}, x = u - 2v,  y = 2u + v}$

(b) $ \displaystyle{z = x^{2} + xy + 2y^{2}, x = u+v, y = uv}$ (c) $ \displaystyle{f(x,y) = x^{2}y^{2}, x = uv, y = v^{2}}$

演習問題

1.
$ \displaystyle{\frac{dz}{dt}}$ を求めよう.ただし, $ f$$ C^{1}$ 級とする.

(a) $ \displaystyle{z = \log{(x^2 + y^2)}, x = t + \frac{1}{t}, y = t(t-1)}$ (b) $ \displaystyle{z = f(t^2,e^t)}$

(c) $ \displaystyle{z = f(2t, 4t^2)}$ (d) $ \displaystyle{z = x^2 - 2y^2, x = \cos{t}, y = \sin{t}}$

2.
次の関数について, $ \displaystyle{\frac{\partial z}{\partial r},  \frac{\partial z}{\partial s}}$を求めよう.

(a) $ \displaystyle{z = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}, x = r^3 - 3rs^2,  y = 3r^2 s - s^3}$

(b) $ \displaystyle{z = \log{\frac{y}{x}}, x = (r-1)^2 + s^2, y = (r+1)^2 + s^2}$

(c) $ \displaystyle{z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, x = r\cos{s}, y = r\sin{s}, (r > 0)}$

3.
$ \displaystyle{z = f(x,y), x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}}$ のとき,次の式が成り立つことを示そう.

$\displaystyle z_{r} = z_{x}\cos{\theta} + z_{y}\sin{\theta},  z_{\theta} = r(-z_{x}\sin{\theta} + z_{y}\cos{\theta}). $


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Administrator 平成18年12月20日